Neste post veremos o algoritmo para resolução de sistemas com matrizes tri-diagonais (TDMA – Tridiagonal Matrix Algorithm), conhecido como “Algoritmo de Thomas”, que é uma forma simplificada da Eliminação de Gauss. Este algoritmo é um dos mais eficientes métodos para resolução de problemas reduzidos à sistemas lineares e também possui grande simplicidade, o que favorece a implementação.

Um aspecto da decomposição de Cholesky que insere um custo adicional na computação das matrizes decompostas está na necessidade de calcular a raiz quadrada durante a resolução do problema. Contudo, o cálculo da raiz quadrada é um processo caro, sujeito à propagações de erros maiores do que aqueles obtidos com a utilização de operações simples de ponto flutuante, tais como adição e multiplicação. Neste artigo mostraremos uma modificação na decomposição de Cholesky que elimina necessidade do cálculo da raiz quadrada, sendo mais eficiente e propagando menos erros.

Neste post apresentaremos um método para decomposição de matrizes conhecido como Fatoração QR. Esta técnica consiste em decompor uma matriz A como sendo um produto de uma matriz ortogonal com outra matriz triangular. Em problemas práticos, este método é consideravelmente mais útil que outras técnicas (tais como LU ou Cholesky).

Uma das mais importantes fatorações de matrizes é a Singular Value Decomposition (SVD). Ela é utilizada em diversos problemas práticos, tais como processamento de sinais, ajuste de funções multivariadas, soluções de problemas de otimização, etc. Sua principal aplicação nestes problemas está em permitir a aproximação da pseudo-inversa da matriz decomposta. Neste artigo vamos apresentar a decomposição SVD e mostrar como ela pode ser utilizada para solução de sistemas lineares.

Este artigo apresenta o algoritmo conhecido como “Fatoração de Cholesky”, onde decompõe uma matriz A tal que A = LL*, onde L será uma matriz triangular-inferior com diagonal composta apenas por elementos não negativos, enquanto L* será a matriz adjunta de L.

Caso A seja uma matriz positiva, então L será única, o que permite servir como fator identificador dos dados de A, chamado de “Fator de Cholesky de A”. Essa propriedade pode permitir aplicações em diversas áreas da ciência e computação.

Decomposições baseadas na de Cholesky estão presentes em criptografia, geração de hashes, verificação de dados e em uma diversidade de aplicações práticas.

Este artigo trata de uma classe de algoritmos de eliminação — tais como da Eliminação de Gauss — que utilizam decomposição de uma matriz para obtenção das incógnitas do sistema. A principal vantagem da decomposição LU é que ela otimiza o tempo gasto na eliminação, sendo adaptativo às situações nas quais o vetor dos termos independentes são calculados para um único conjunto de coeficientes do sistema. Além disso, este artigo desenvolve o método da decomposição LU como uma implementação da eliminação de Gauss.

O método conhecido como “Eliminação de Gauss” consiste em combinar as equações de forma ir eliminando as variáveis até convergir à uma solução. Embora este seja um dos métodos mais antigos, e também um dos menos eficientes, serve como fundamento para compreendermos as demais técnicas relativas à resolução de sistemas lineares.