3.1.5 Aproximação de Funções — Interpolação — Fórmula de Newton-Gregory

1. A Fórmula de Newton-Gregory

Se os dados amostrados forem igualmente espaçados e estiverem em ordem crescente, então a variável independente assume os valores

\( x_1 = x_0 + h \)
\( x_2 = x_0 + 2h \)
\( \vdots \)
\( x_n = x_0 + nh \)

onde \(h \) é o intervalo entre os dados. Com base nisso, as diferenças divididas podem ser expressas. Isto é, a segunda diferença dividida progressiva é
\( f(x_0,x_1,x_2) = \dfrac{\frac{f(x_2) – f(x_1)}{x_2 – x_1} – \frac{f(x_1) – f(x_0)}{x_1 – x_0}}{x_2 – x_0} \)

Esta fórmula pode ser simplificada na seguinte expressão:
\( f(x_0,x_1,x_2) = \dfrac{f(x_2) – 2f(x_1) + f(x_0)}{2h^2} \)

pois \(x_1 – x_0 = x_2 – x_1 = \frac{x_2 – x_0}{2} = h \) . Sabemos que as diferenças finitas de derivadas superiores produzem uma fórmula muito semelhante à esta, sendo:
\( f”(x_i) = \dfrac{f(x_i) – 2f(x_{i-1}) + f(x_{i-2})}{h^2} + O(h) \)

Ou seja, a segunda diferença progressiva é igual à
\( \Delta^2f(x_0) = f(x_2) – 2f(x_1) + f(x_0) \)

Portanto, a equação que recebe os parâmetros \(x_0, x_1, x_2 \) fica
\( f(x_0,x_1,x_2) = \dfrac{\Delta^2f(x_0)}{2!h^2} \)

Generalizando esta fórmula para \(n \) parâmetros (amostras), temos
\( f(x_0,x_1,\ldots,x_n) = \dfrac{\Delta^n f(x_0)}{n! h^n} \)

Podemos utilizar a última equação acima para expressar o polinômio interpolador para casos em que a amostragem nos fornece dados igualmente espaçados. No caso geral, temos

\( f_n(x) = f(x_0) + \dfrac{\Delta f(x_0)}{h}(x-x_0) + \dfrac{\Delta^2 f(x_0)}{2!h^2}(x-x_0)(x-x_0-h) + \cdots + \dfrac{\Delta^n f(x_0)}{n!h^n}(x-x_0)(x-x_0-h)\cdots[x-x_0-(n-1)h] + R_n \)

onde o resto \(R_n \) é
\( R_n = \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x_{i+1} – x_i)^{n+1} = \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n) \)

Essa equação é conhecida como Fórmula de Newton-Gregory. Ela pode ser simplificada ainda mais ao definirmos uma nova variável de relaxação \(\alpha \) :

\(
\alpha = \dfrac{x-x_0}{h}
\)

Essa definição pode ser usada para deduzir as seguintes expressões simplificadas para os termos na fórmula:


\(x – x_0 = \alpha h \)
\(x – x_0 – h = \alpha h – h \)
\(\vdots \)
\(x – x_0 – (n – 1)h = \alpha h – (n – 1) h = h (\alpha – n + 1) \)

Ou seja, a Fórmula de Newton-Gregory fica:
\( f_n(x) = f(x_0) + \Delta f(x_0) \alpha + \dfrac{\Delta^2 f(x_0)}{2!} \alpha (\alpha + 1) + \cdots + \dfrac{\Delta^n f(x_0)}{n!} \alpha (\alpha – 1) \cdots (\alpha – n + 1) + R_n \)

Embora a implementação deste método seja equivalente à regressão polinomial simples, esta notação é relevante para dedução e análise de erro de diversas fórmulas de integração numérica.

 

2. Copyright

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References

[1] Anthony Ralston and Philip Rabinowitz, A First Course in Numerical Analysis (2nd ed.), McGraw-Hill and Dover, (2001).


[2] N.B Franco, Cálculo Numérico, Pearson Prentice Hall, (2006).