3.1.6 Aproximação de Funções — Interpolação — Interpolação Inversa

1. Interpolação Inversa

Na maioria dos casos de interpolação, os valores de f(x) e x são as variáveis dependente e independente, respectivamente. O problema da interpolação inversa consiste em utilizar os mesmos dados amostrados para determinar x a partir de f(x).

Nos primeiros tópicos sobre métodos computacionais, apresentamos e discutimos diversos métodos numéricos para solução de equações não-lineares \(f(x) = 0 \) . Uma das aplicações destas técnicas consiste na interpolação inversa.

A abordagem para encontrarmos algum valor de \(x_i \) para um dado \(f(x_i) \) , portanto, consiste em dois passos. O primeiro deles seria utilizar os valores \((n + 1) \) tabelados para interpolarmos um polinômio de grau \(n \) . Com isso, teremos uma função aproximada \(f(x) \) tal que nos permita construir a função \(g(x) \) tal que \(g(x) = f(x) – f(x_i) \) . O segundo passo consiste em utilizar algum método numérico de busca de raízes para encontrar \(x \) tal que \(g(x)=0 \) .

Por exemplo, supondo que obtemos os três pontos da amostra: \((2, 0.50), (3, 0.33), (4, 0.25) \) . Utilizando interpolação polinomial, podemos ajustar estes dados ao seguinte polinômio:

\( f_2(x) = 0.04 x^2 – 0.37x + 1.08 \)

Agora presumindo que desejamos obter o valor de \(x \) quando \(f(x) = 0.30 \) . Neste caso temos que

\( 0.30 = 0.04 x^2 – 0.37x + 1.08 \)

subtraindo ambos lados por \(f(x_i) = 0.3 \) , teremos \(g(x) \) tal que

\( g(x) = f(x) – f(x_i) = (0.04 x^2 – 0.37x + 1.08) – 0.3 = 0.04 x^2 – 0.37x + 0.78 \)

Ao utilizarmos um método numérico para encontrarmos \(g(x) = 0 \) , obtemos que \(x \approx 3.296 \) , que é o valor da interpolação inversa.

 

2. Copyright

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References

[1] Anthony Ralston and Philip Rabinowitz, A First Course in Numerical Analysis (2nd ed.), McGraw-Hill and Dover, (2001).
[2] N.B Franco, Cálculo Numérico, Pearson Prentice Hall, (2006).