3.2.1 Aproximação de Funções — Análise de Fourier — Introdução

1. Aproximação de Fourier

Cientistas de diversas áreas trabalham com modelos de sistemas oscilatórios. Nesses contextos, as funções trigonométricas desempenham um papel fundamental na modelagem matemática. A aproximação de Fourier consiste em um esquema sistemático para usar séries trigonométricas com esse propósito. A análise de Fourier é desenvolvida nos espaços vetoriais conhecidos como domínio de frequência e domínio de tempo (ou espaço).

 

2. Ajuste de Curvas por Funções Trigonométricas

Uma função periódica \(f(t) \) é descrita como


\(f(t) = f(t + T) \)

onde \(T \) é uma constante chamada período, que é o menor valor para o qual a Equação acima vale. Em geral, uma função periódica tem a seguinte forma trigonométrica:

\(f(t) = A_0 + C_1 cos(\omega_0 t + \theta) \)

Logo, existem quatro parâmetros que caracterizam a senoide:

  • O valor médio \(A_0 \) , que determina a altura da abscissa;
  • A amplitude \(C_1 \) , que especifica a altura da oscilação;
  • A frequência angular \(\omega_0 \) , que caracteriza a frequência do ciclo do fenômeno periódico;
  • O ângulo de fase \(\theta \) , que parametriza a extensão da curva horizontalmente.

A frequência angular, em radianos/tempo, está relacionada com a frequência \(f \), em ciclos/tempo, pela seguinte proporção:


\(\omega_0 = 2 \pi f \)

e a frequência está relacionada com o período \(T \) por

\(f = \dfrac{1}{T} \)

Embora a equação \(f(t) = A_0 + C_1 cos(\omega_0 t + \theta) \) seja uma caracterização adequada para um movimento oscilatório, trabalhar com esta forma pode ser difícil devido ao deslocamento angular \(\theta \) . Para simplificar esta forma, utilizamos a seguinte identidade trigonométrica:


\(C_1 cos(\omega_0 t + \theta) = C_1 [cos(\omega_0 t) cos(\theta) – sin(\omega_0 t) sin(\theta)] \)

Ou seja, \(f(t) \) é aproximada por

\(f(t) = A_0 + A_1 cos(\omega_0 t) + B_1 sin(\omega_0 t) \)

onde \(A_1 = C_1 cos(\theta) \) e \(B_1 = -C_1 sin(\theta) \) . Portanto,

\(\theta = arctg\left( – \frac{B_1}{A_1} \right) \)

Elevando ao quadrado e somando a relação entre \(A_1 \) e \(B_1 \) , temos que

\(C_1 = \sqrt{A_1^2 + B_1^2} \)

Assim, a Equação


\(C_1 cos(\omega_0 t + \theta) = C_1 [cos(\omega_0 t) cos(\theta) – sin(\omega_0 t) sin(\theta)] \)

representa uma formulação alternativa geral em uma forma linear. Esta forma é interessante porque pode ser utilizada em diversas técnicas de ajustes de dados, tais como mínimos quadrados.

 

3. Copyright

Este documento é disponível sob a licença Creative Commons. As regras dos direitos de cópia deste conteúdo estão acessíveis em http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.5/br/.

References

[1] Anthony Ralston and Philip Rabinowitz, A First Course in Numerical Analysis (2nd ed.), McGraw-Hill and Dover, (2001).
[2] N.B Franco, Cálculo Numérico, Pearson Prentice Hall (2006).