3.2.2 Aproximação de Funções — Análise de Fourier — A Série de Fourier

1. A Série de Fourier

Fourier desenvolveu uma técnica para aproximação de funções periódicas quaisquer através de uma série infinita de funções trigonométricas com frequências harmonicamente relacionadas. Para uma função de período \(T \), a chamada série de Fourier é


\(f(t) = a_0 + a_1 cos(\omega_0 t) + b_1 sin(\omega_0 t) + a_2 cos(2 \omega_0 t) + b_2 sin(2 \omega_0 t) + \cdots \)

ou, em termos gerais

\(f(t) = a_0 + \sum_{k=1}^{\infty}[a_k cos(k \omega_0 t) + b_k sin(k \omega_0 t)] \)

onde \(\omega_0 = \frac{2 \pi}{T} \) é denominada frequência fundamental e os seus múltiplos \(\omega_1 \) , \(\omega_2 \) , \(\ldots \) , são denominados harmônicos. Portanto, a série de fourier nada mais é do que uma combinação linear de base \(1, cos(\omega_0 t), sin(\omega_0 t), cos(2 \omega_0 t), sin(2 \omega_0 t), \cdots \)

Para determinar os coeficientes das bases, vamos integrar a série de Fourier dentro do período de oscilação \(T \) . Assim, temos


\(\int_0^T f(t) dt = \int_0^T a_0 dt + \int_0^T \sum_{k=1}^{\infty}[a_k cos(k \omega_0 t) + b_k sin(k \omega_0 t)] dt \)

Como todos os termos da somatória acima estão na forma de senos e cossenos apenas, e sabendo que


\(\int_0^T sin(k \omega_0 t) dt = \int_0^T cos(k \omega_0 t) dt = 0 \)

a equação se torna apenas

\(\int_0^T f(t) dt = a_0 T \)

que nos fornece como resolução o valor do coeficiente \(a_0 \)

\(a_0 = \dfrac{\int_0^T f(t) dt}{T} \)

Ou seja, \(a_0 \) é o valor médio da função sobre o período.

Para calcularmos os coeficientes do cossenos, multiplicamos a série de Fourier por \(cos(k \omega_0 t) \) e integramos, como no processo acima:


\(\int_0^T f(t) cos(k \omega_0 t) dt = \int_0^T a_0 cos(k \omega_0 t) dt + \int_0^T \sum_{k=1}^{\infty}[a_k cos(k \omega_0 t) + b_k sin(k \omega_0 t)] cos(k \omega_0 t) dt \)

Esta integral nos fornece a expressão geral para determinarmos os coeficientes das bases em cosseno:

\(a_k = \dfrac{2}{T} \int_0^T f(t) cos(k \omega_0 t) dt \)

onde \(k=1,2,\ldots \) .

De forma análoga, podemos calcular os coeficientes das bases em seno como
sendo:


\(b_k = \dfrac{2}{T} \int_0^T f(t) sin(k \omega_0 t) dt \)

1.1. A Série de Fourier na Forma Complexa

Como a série de Fourier é composta por senos e cossenos, é possível colocá-la na forma de exponenciais complexas. Isto é,


\(f(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{i k \omega_0 t} \)

onde \(i \) é o número imaginário e \(c_k \) é

\(c_k = \dfrac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) e^{-i k \omega_0 t} dt \)

2. Copyright

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References

[1] Anthony Ralston and Philip Rabinowitz, A First Course in Numerical Analysis (2nd ed.), McGraw-Hill and Dover, (2001).
[2] N.B Franco, Cálculo Numérico, Pearson Prentice Hall (2006).