3.2.3 Aproximação de Funções — Análise de Fourier — A Transformada Integral de Fourier

1. A Transformada Integral de Fourier

A série de Fourier — detalhada em outro post — é uma útil ferramenta de modelagem e análise do espectro de uma função periódica. Contudo, existem muitos fenômenos em que as ondas não se repetem regularmente. A alternativa para modelagem de tais fenômenos consiste em criar uma série de Fourier para ondas não-periódicas.

A integral de Fourier é o principal recurso para criar tal modelo. Ela pode ser deduzida a partir da versão complexa da série de Fourier.

\( f(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{i k \omega_0 t}\)

onde

\( c_k = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) e^{-i k \omega_0 t} dt \)

e onde \(\omega_0 = \frac{2 \pi}{T} \) e \(k=0,1,2,\ldots\)

A transição de uma função periódica em outra não-periódica pode ser feita permitindo-se que o período tenda ao infinito. Isto é, quando \(T \) se torna infinitamente grande, a função não se repete, e, assim, torna-se não-periódica. Se isso ocorre, temos que a série de Fourier se reduz a

\(f(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(i \omega_0) e^{i \omega_0 t} d\omega_0 \)

e os coeficientes se tornam uma função no contínuo da variável de frequência \(\omega_0 \) ,

\(F(i \omega_0) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \omega_0 t} dt\)

A função\(F(i \omega_0) \) , definida acima, é chamada de transformada integral de Fourier de\(f(t) \) . A função\(f(t) \) , por outro lado, é chamada de transformada inversa de Fourier de \(F(i \omega_0) \) . Esse par de funções nos permite transformarmos os espaços relativos aos domínios de tempo para o domínio de frequência e vice-versa.

A diferença entre a transformada e a série de Fourier reside na classe de funções em que elas são aplicadas. Enquanto a série de Fourier modela bem funções periódicas, a transformada modela as formas de funções não-periódicas. Além disso, ambas se diferem na forma como se movimentam pelos espaços de tempo e frequência. A série converte uma função definida no contínuo, periódica no domínio do tempo, para amplitudes no domínio da frequência em frequências discretas. Por outro lado, a transformada de Fourier converte uma função no contínuo no domínio do tempo em uma função no domínio da frequência. Desta forma, o espectro de frequência discreto gerado pela série de Fourier é análogo ao espectro contínuo gerado pela transformada de Fourier.

 

2. Copyright

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References

[1] Anthony Ralston and Philip Rabinowitz, A First Course in Numerical Analysis (2nd ed.), McGraw-Hill and Dover, (2001).
[2] N.B Franco, Cálculo Numérico, Pearson Prentice Hall (2006).